# 行列式

• 概念：行列式是一个数，它是不同行不同列元素乘积的代数和

• 高中时的写法

  $$\left|\begin{array}{c} a & b \\ c & d \\ \end{array}\right| = ad - bc$$

• 大学的写法

  $$\left|\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{array}\right| = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$$

$$\left|\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{array}\right| = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{23}a_{32}a_{11} - a_{33}a_{12}a_{21}$$

• 逆序数：如果一个大的数排在小的数之前，就称这两个数构成了一个逆序。一个排列的逆序总数则称为这个排列的逆序数

  • $N(54123) = 4 + 3 + 0 + 0 + 0 = 7$

• 偶排列：逆序数为偶数的排列

• 奇排列：逆序数为奇数的排列

• 对换：交换两个数，如果排列作偶数次，排列性质不变；排列作奇数次，排列性质则会发生改变

  • $N(54213) = 4 + 3 + 1 + 0 + 0 = 8$

• n 阶行列式

  • 按行排列：行标取标准排列，列标取排列的所有可能，从不同行不同列取出 n 个元素相乘。符号由列标排列的奇偶性决定
  • 主对角线的上三角下三角行列式等于主对角线相乘
  • 负对角线的上三角下三角行列式等于$(-1^{\frac{n(n-1)}{2}})$ 负对角线相乘
  • 按列排列：列标取标准排列，行标取排列的所有可能，从不同行不同列取出 n 个元素相乘。符号由行标排列的奇偶性决定

1. 经过转置行列式的值不变 (行列式的行和列的性质相同)

2. 两行行列式互换位置，行列式变号

   • 两行行列式相同，行列式的值为 0

3. 某行 (或列) 行列式如有公因子 K, 则可把 K 提出行列式记号外（亦即用数 K 乘列式 | A | 等于用 K 乘它的的某行或列）

   • 某行（或列）的元素都为 0，行列式的值为 0

   • 若两行（或列）的元素对应成比例，行列式的值为 0

4. 如果行列式某行（或列）是两个元素之和，则可把行列式拆成拆成两行列之和。

5. 把某行（或列）的 K 倍加到另一行（或列），行列式的值不变。

• 将行列式的行变成列，列变成行，符号 $D^T$

• 去掉某个元素所在行和所在列的元素去掉，所形成的新的行列式

• 在原来余子式的前面加上（-1）的行列下标和的次方数。 $(-1^{i+j})$

• 异乘变零定理

• 拉普拉斯

  • 取定 k 行，由 K 行元素组成的所有 K 阶子式与代数余子式乘积之后 = Determinant

# 矩阵

• Markdown 矩阵写法

- 常规写法

    $$\begin{matrix}

    1&1&1&1\\

    2&2&2&2\\

    4&4&4&4\\

    \end{matrix}$$

- 在起始、结束标记用下列词替换 matrix

    pmatrix：小括号边框

    bmatrix：中括号边框

    Bmatrix：大括号边框

    vmatrix：单竖线边框

    Vmatrix：双竖线边框

• 伴随矩阵：只有方阵才有伴随矩阵
  • 求所有元素的代数余子式
  • 按行求的代数余子式，按列放构成的矩阵
• 逆矩阵
  • 未必所有的方阵都可逆
  • 若可逆，逆矩阵必唯一
  • 定理：
    • A 可逆充要条件 ：$|A| \neq 0 ,A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*$
    • A 可逆必要条件：$|AA^{-1}| = |E| |A||A^{-1} = 1| |A| \neq 0$

• 本质：是对矩阵的一种变换，矩阵与矩阵之间用符号 $\rightarrow$，不能使用 =

分别呈现为：

• 交换两行

  • 例：将第一行和第二行交换

  • $$\begin{bmatrix} 1&1&1&1\\ 2&2&2&2\\ 4&4&4&4\\ \end{bmatrix} \longrightarrow \begin{bmatrix} 2&2&2&2\\ 1&1&1&1\\ 4&4&4&4\\ \end{bmatrix}$$

  • 当该矩阵为方阵时 $|A| \rightarrow |B|$，该矩阵的行列式为$|A| = -|B|$

• 用$k \quad(k \neq 0)$ 乘某一行

  • 例：将第一行乘以 6

  • $$\begin{bmatrix} 1&1&1&1\\ 2&2&2&2\\ 4&4&4&4\\ \end{bmatrix} \longrightarrow \begin{bmatrix} 6&6&6&6\\ 2&2&2&2\\ 4&4&4&4\\ \end{bmatrix}$$

  • 当该矩阵为方阵时 $|A| \rightarrow |B|$，该矩阵的行列式为$|A| = k|B|$

• 某一行的 $l$ 倍加到另一行上去

  • 例：将第一行的 - 4 倍加到第三行上去

  • $$\begin{bmatrix} 1&1&1&1\\ 2&2&2&2\\ 4&4&4&4\\ \end{bmatrix} \longrightarrow \begin{bmatrix} 1&1&1&1\\ 2&2&2&2\\ 0&0&0&0\\ \end{bmatrix}$$

  • 当该矩阵为方阵时 $|A| \rightarrow |B|$，该矩阵的行列式为$|A| = |B|$

• 任意矩阵可以通过初等变换化为标准型

  • 标准型
    • $A_{44}$ 的标准型为 5 种

    • $$\begin{bmatrix} 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}$$

  • 例：将矩阵变化为上面 5 种的一种

  • $$\begin{bmatrix} 1&2&1\\ 1&-1&0\\ 0&1&1\\ 1&3&1\\ \end{bmatrix} \longrightarrow \begin{bmatrix} 1&2&1\\ 0&1&1\\ 0&1&1\\ 0&1&1\\ \end{bmatrix} \longrightarrow \begin{bmatrix} 1&0&-1\\ 0&1&1\\ 0&0&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix} \longrightarrow \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix}$$

• 初等变换的性质

  • 反身性 $A \cong A$

  • 对称性 $A \cong B \rightarrow B \cong A$

  • 传递性 $A \cong B \quad B \cong C \rightarrow A \cong C$

• 特征值

• 特征向量

• 行列式

# 向量

• n 个数 $a_1 .... a_n$ 组成的有序数组 $(a_1 , a_2 , ... , a_n)$

• 行向量

• 列向量

• $k\alpha = 0 \Rightarrow k = 0 \quad or \quad \alpha = 0$

• 线性组合
  • $\beta,\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$ 是 m 维向量，若存在 $k_1,k_2,\dots,k_n$, 使$\beta = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \dots +k_n\alpha_n$

    • $$\binom{1}{2} = 1 \times \binom{1}{0} + 2 \times \binom{0}{1}$$

  • 系数表示可以全取 0

    • $$\binom{0}{0} = 0 \times \binom{1}{0} + 0 \times \binom{0}{1}$$

• 零向量可由任意向量组表示

  • $$0 = 0 \times \alpha_1 + 0 \times \alpha_2 + \dots + 0 \times \alpha_n$$

• 向量组中任一向量可由向量组表示

  • $$\alpha_3 = 0 \times \alpha_1 + 0 \times \alpha_2 + 1 \times \alpha_3 + 0 \times \alpha_4$$

• 任意向量可由$\epsilon_1 = (1,0,\dots,0),\epsilon_2 = (0,1,\dots,0),\dots,\epsilon_n = (0,0,\dots,1),$ 表示

  • $$(1,2,3) = 1 \times (1,0,0) + 2 \times (0,1,0) + 3 \times (0,0,1)$$

• 解：

$$\quad \beta = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3$$

$$(-3,2,-4) = k_1(1,0,1) + k_2(2,1,0) + k_3(-1,1,-2)$$

$$\left\{ \begin{array}{c} k_1 + 2k_2 - k_3 = -3 \\ k_2 + k_3 = 2 \\ k_1 - 2k_3 = -4 \end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{c} k_1 = 2 \\ K_2 = -1 \\ k_3 = 3 \end{array} \right.$$

$$\therefore \beta = 2\alpha_1 - \alpha_2 + 3\alpha_3$$

• 若 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m$ 和 $\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n$ 同维度
• 两个向量组可以相互线性表示
  • 反身性：{$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m$} $\cong$ {$\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n$}
  • 对称性：{$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m$} $\cong$ {$\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n$} $\Leftrightarrow$ {$\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n$} $\cong$ {$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m$}
  • 传递性: {$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m$} $\cong$ {$\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n$} 、{$\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n$} $\cong$ {$\gamma_1,\gamma_2,\dots,\gamma_s$} $\Longrightarrow$ {$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m$} $\cong$ {$\gamma_1,\gamma_2,\dots,\gamma_s$}

• $a_1,a_2,\dots,a_n$ 是 n 个 m 维向量，若存在一组不全为 0 的$k_1,k_2,\dots,k_n$ 使得

  $$k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \dots +k_n\alpha_n = 0$$

  就称$a_1,a_2,\dots,a_n$ 是线性相关的。

• $$1 \times \binom{2}{0} - 2 \times \binom{1}{0} + 0 \times \binom{8}{9} = 0$$

• $$2 \times \binom{1}{0}+2 \times \binom{0}{1} - 1 \times \binom{2}{3} = 0$$

• $a_1,a_2,\dots,a_n$ 是 n 个 m 维向量，若找不到一组不全为 0 的$k_1,k_2,\dots,k_n$ 使得

  $$k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \dots +k_n\alpha_n = 0$$

  就称$a_1,a_2,\dots,a_n$ 不是线性相关的。
• $a_1,a_2,\dots,a_n$ 是 n 个 m 维向量，必全为 0 的$k_1,k_2,\dots,k_n$ 使得

  $$k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \dots +k_n\alpha_n = 0$$

  就称$a_1,a_2,\dots,a_n$ 不是线性相关的。

1. 向量组中两向量成比例，必定线性相关

$$-1 \times \binom{1}{2} + \frac{1}{2} \times \binom{2}{4} = 0$$

2. 含零向量的任意向量组必线性相关

$$0\alpha_1 + 0\alpha_2 + 1 \times 0 = 0$$

3. 任意一个零向量必线性相关

$$1 \times 0 = 0$$

4. 任意一个非零向量必线性无关

$$\alpha \neq 0 , k\alpha = 0 \Rightarrow k = 0$$

5. 一个向量$\alpha$ 线性相关 $\Leftrightarrow \alpha = 0$

• $\alpha_1,\alpha_2,\dots, \alpha_r$ 线性相关，$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r, \alpha_{r + 1}, \dots ,\alpha_{s}$ 也线性相关

• $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性相关，$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5$ 也线性相关

• 证明：

$$k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3 = 0$$

$$k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3 + 0\alpha_4 + 0\alpha_5 = 0$$

$\because \quad k_1,k_2,k_3,0,0$ 不全为 0
$\therefore \quad \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5$ 是线性相关的

• 结论
  • 部分组线性相关 $\rightarrow$ 整体组线性相关
  • 整体组线性无关 $\rightarrow$ 部分组线性无关
  • 线性无关的向量组，接长向量组也线性无关
  • 线性相关的向量组，截短向量组也线性相关
  • n 个 n 维向量组，若构成的行列式$D \neq 0$, 则该向量组线性无关
  • n 个 n 维向量组，若构成的行列式$D = 0$, 则该向量组线性相关

• 极大线性无关组：
  • $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5$ 的部分组$\alpha_1,\alpha_2$
    1. $\alpha_1,\alpha_2$ 线性无关
    2. 每个向量均可由$\alpha_1,\alpha_2$ 表示

# 线性方程组

# 特征值和特征向量

• A 为 n 阶矩阵，若数 λ 和 n 维非 0 列向量 x 满足 Ax=λx，那么数 λ 称为 A 的特征值，x 称为 A 的对应于特征值 λ 的特征向量。式 Ax=λx 也可写成 (A-λE) x=0，并且 |λE-A | 叫做 A 的特征多项式。当特征多项式等于 0 的时候，称为 A 的特征方程，特征方程是一个齐次线性方程组，求解特征值的过程其实就是求解特征方程的解。

• 特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，通常与矩阵相关。在矩阵中，特征值和特征向量提供了对矩阵变换行为的一种理解。

  1. 特征向量（Eigenvectors）：对于一个方阵（如 n x n 的矩阵），如果存在一个非零向量 v，使得矩阵 A 作用于这个向量后，得到的结果只是这个向量的一个标量倍数，即 Av = λv，其中 λ 是一个常数，称为特征值。这个向量 v 就称为矩阵 A 的特征向量。
  2. 特征值（Eigenvalues）：特征值是表示特征向量放缩倍数的常数。在方阵 A 中，特征值 λ 表示当矩阵作用于相应的特征向量时，向量被放缩的倍数。
  3. 特征值和特征向量对于理解线性变换的本质非常重要，它们在很多领域中都有广泛的应用，如物理学、工程学、计算机科学等。在机器学习和数据分析中，特征值和特征向量常用于降维、主成分分析（PCA）、特征提取等任务中。

• $$A x = \lambda x \Rightarrow A x = \lambda E x \Rightarrow (\lambda - A) x$$

• $$|\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda - a_{11} & -a_{12} & ··· & -a_{1n} \\ -a_{21} & \lambda - a_{22} & ··· & -a_{2n} \\ ··· & ··· & ··· & ··· \\ -a_{m1} & -a_{m1} & ··· & \lambda - a_{mn} \\ \end{vmatrix}$$

• 以下为示例：

• $$A = \left( \begin{matrix} 4 & 2 & -5 \\ 6 & 4 & -9 \\ 5 & 3 & -7 \\ \end{matrix} \right) \tag{1}$$

• $$|\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda - 4 & -2 & 5 \\ -6 & \lambda - 4 & 9 \\ -5 & -3 & \lambda + 7 \\ \end{vmatrix} = {0} \tag{2}$$

• 计算行列式得
  $((\lambda - 4)(\lambda - 4)(\lambda + 7)+(-2)*9*(-5)+5*(-6)*(-3))-(5*(\lambda - 4)*(-5)+(-2)*(-6)*(\lambda + 7)+(\lambda - 4)*9*(-3))$

• 备注：3 行 3 列的矩阵 ， 可以直接采用主对角线 - 副对角线

• 化简得：

  • $\lambda^2 * (\lambda - 1) = 0$

• 得到特征值：

  1. $\lambda_1 = 1,\lambda_2 = \lambda_3 = 0$
  2. $\lambda_1 = 1, \Rightarrow (E -A)x = 0$

• $$E - A = \begin{bmatrix} -3 & -2 & 5\\ -6 & -3 & 9\\ -5 & -3 & 8\\ \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}$$

• $$(E -A)x = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} \left(\begin{matrix} x_1 \\ x_2\\ x_3\\ \end{matrix}\right) = 0 \Rightarrow \begin{cases} x_1 - x_3 = 0 \\ x_2 - x_3 = 0 \end{cases}$$

• 令 $x_1 = 1$ 得到特征矩阵：

• $$\xi_1 = \left(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{matrix}\right)$$

• 同理，当$\lambda_2 = \lambda_3 = 0$ 得：

• $$(E -A)x = \begin{bmatrix} -2 & 0 & 1\\ 0 & -2 & 3\\ 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} \left(\begin{matrix} x_1 \\ x_2\\ x_3\\ \end{matrix}\right) = 0 \Rightarrow \begin{cases} -2x_1 + x_3 = 0 \\ -2x_2 + 3x_3 = 0 \end{cases}$$

• 令 $x_1 = 1$ 得到特征矩阵：

• $$\xi_2 = \xi_3 = \left(\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 2 \\ \end{matrix}\right)$$