# 函数图像

# 基本图像

1. 心形线
2. 玫瑰线
3. 阿基米德螺线
4. 摆线 （外摆线）
5. 星形线 （内摆线）

# 单调性

• 单调增 $\qquad f'(x) > 0 \qquad \nearrow$
• 单调减 $\qquad f'(x) < 0 \qquad \searrow$
• 讨论单调性注意点
  • 一阶导数为 0 的点 (驻点)
  • 一阶导数不存在的点

# 凹凸性

1. 凹曲线: $\qquad f'(x)$ 递增 $\qquad f''(x) > 0 \qquad \uparrow$
2. 凸曲线: $\qquad f'(x)$ 递减 $\qquad f''(x) < 0 \qquad \downarrow$

# 凹凸区间分界点

1. 二阶导数为零的点
2. 二阶导数不存在的点

# 间断点

• 第一类间断点 (可去，跳跃)
• 第二类间断点 (无穷，振荡)

# 极值

# 定义

• 邻域内 (局部)，最大 (小) 值 (不唯一)

# 定理

1. (必要条件) $f(x)$ 在 $x_0$ 可导，在 $x_0$ 处取极值，$f'(x_0) = 0$
2. (充分条件) $f(x)$ 在 $x_0$ 连续，左边 $f'(x_0) > 0$ , 右边 $f'(x_0) < 0 \quad$ 取极大值
3. (充分条件) $f(x)$ 在 $x_0$ 连续，左边 $f'(x_0) < 0$ , 右边 $f'(x_0) > 0 \quad$ 取极大值
4. (充分条件) $x \in \mathring{U}(x_0)$ 在 $f'(x_0)$ 符号不变， $x_0$ 不是极值

# 判断方式

1. 求$f'(x)$
2. 求驻点和不可导的点
3. 考察左右导数符号是否变化
   • 左边 $f'(x_0) > 0$ , 右边 $f'(x_0) < 0 \quad$ 取极大值
   • 左边 $f'(x_0) < 0$ , 右边 $f'(x_0) > 0 \quad$ 取极大值
4. 二阶可导 $f'(x_0) = 0 \quad f''(x_0) \neq 0$
   • $f''(x_0) < 0 \quad$ 在 $x_0$ 处取极大值
   • $f''(x_0) > 0 \quad$ 在 $x_0$ 处取极小值

# 最值

• 整个区域内 (全局)，最大 (小) 值 (唯一)

# 函数图形的描绘

# 步骤

1. 确定定义域，奇偶性，周期性 $f'(x), f''(x)$
2. $f'(x) = 0, f''(x) = 0$ , $f(x)$ 间断点，$f'(x)$ 不存在的点，$f''(x)$ 不存在的点，分开定义域。
3. $f'(x)$ 确定增减性，$f''(x)$ 确定凹凸拐点
4. 渐近线 (3 种)
5. $f'(x) = 0, f''(x) = 0$ , 以及不存在的点，函数值
6. 极值，最值

# 例题一作图

1. 原函数: $y = x^3 - x^2 - x + 1 \qquad x \in(-\infty,+\infty)$
2. 一阶导数: $f'(x) = 3x^2 - 2x - 1$
3. 二阶导数: $f''(x) = 6x - 2$
4. 令 $f'(x) = 0 \Rightarrow x = -{\cfrac{1}{3}}$ 或 $x = 1$
5. 令 $f''(x) = 0 \Rightarrow x = {\cfrac{1}{3}}$
6. 表格

   • $x$	$(-\infty,-\dfrac{1}{3})$	$-{\dfrac{1}{3}}$	$(-\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3})$	${\dfrac{1}{3}}$	$(\dfrac{1}{3},1)$	$1$	$(1,+\infty)$
     $f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
     $f''(x)$	$-$	$-$	$-$	0	$+$	$+$	$+$
     $f(x)$	$\nearrow \uparrow$	极大值	$\searrow \uparrow$	拐点	$\searrow \downarrow$	极小值	$\nearrow \downarrow$

7. 分析定义域
   • $x \rightarrow -\infty \quad y \rightarrow -\infty$
   • $x \rightarrow +\infty \quad y \rightarrow +\infty$
8. 计算特殊值
   • $f(-\frac{1}{3}) = \dfrac{32}{27} \qquad f(\frac{1}{3}) = \dfrac{16}{27} \qquad f(1) = 0$
9. 该函数最终图像

# 例题二作图

1. 原函数: $y = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}\qquad x \in (-\infty,+\infty)$ 偶函数，只考虑 $x \geq 0$
2. 一阶导数: $f'(x) = -x\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$
3. 二阶导数: $f''(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}(x^2 - 1)$
4. 令 $f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0$
5. 令 $f''(x) = 0 \Rightarrow x = \pm 1$
6. 表格

   • $x$	$0$	$(0,1)$	$1$	$(1,+\infty)$
     $f'(x)$	$0$	$-$	$-$	$-$
     $f''(x)$	$-$	$-$	0	$+$
     $f(x)$	极大值	$\searrow \uparrow$	拐点	$\searrow \downarrow$

7. 分析定义域
   • $x \rightarrow +\infty \quad y \rightarrow 0$ ，水平渐近线 $y = 0$
8. 计算特殊值
   • $f(0) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \qquad f(1) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}}$
9. 该函数最终图像

# 例题三作图

1. 原函数: $y = 1 + \dfrac{36x}{(x + 3)^2} \qquad x \in(-\infty,-3) \cup (-3,+\infty)$
2. 一阶导数: $f'(x) = {\dfrac{36x(3 - x)}{(x + 3)^3}}$
3. 二阶导数: $f''(x) = {\dfrac{72(x - 6)}{(x + 3)^4}}$
4. 令 $f'(x) = 0 \Rightarrow x = 3$
5. 令 $f''(x) = 0 \Rightarrow x = 6$
6. 表格

   • $x$	$(-\infty,-3)$	$(-3,3)$	$3$	$(3,6)$	$6$	$(6,+\infty)$
     $f'(x)$	$-$	$+$	$0$	$-$	$-$	$-$
     $f''(x)$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
     $f(x)$	$\searrow \uparrow$	$\nearrow \uparrow$	极大值	$\searrow \uparrow$	$\searrow \downarrow$	极小值

7. 分析定义域
   • $x \rightarrow -3 \quad y \rightarrow -\infty$
   • $x \rightarrow \infty \quad y \rightarrow 1$
8. 计算特殊值
   • $f(3) = 4 \qquad f(6) = \frac{11}{3} \qquad f(0) = 1$
9. 该函数最终图像

# 曲率

# 概述

• 定义：曲线弯曲的程度

# 常见曲率形式

• 平均曲率
  • $\bar k = |\dfrac{\delta \alpha}{\delta s}|$
• 在 $M$ 处的曲率
  • $\lim\limits_{\delta s \rightarrow{0}}|\dfrac{\delta \alpha}{\delta s}|$
• 直线的曲率
  • $\lim\limits_{\delta s \rightarrow{0}}|\dfrac{\delta \alpha}{\delta s}| = 0$
• 圆的曲率 (圆的半径为 $r$)
  • $\lim\limits_{\delta s \rightarrow{0}}|\dfrac{\delta \alpha}{\delta s}| = {\dfrac{1}{r}}$

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