# 不定积分

1. 定义
   • $F'(x) = f(x) \quad$ $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数
2. 原函数存在定理
   • 连续一定有原函数 $[F(x) + C]' = f(x)$
3. 几何含义
   • 一组平行的曲线簇
4. 性质
   • $\int [f(x) \pm g(x)] dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$
   • $\int kf(x) dx = k \int f(x) dx$

# 积分表

0. $\int 0 dx = C$
1. $\int k dx = kx + C$
2. $\int x^\mu dx = \dfrac{x^{\mu + 1}}{\mu + 1} + C$
3. $\int \dfrac{1}{x} dx = \ln|x| + C$
4. $\int \dfrac{1}{1 + x^2} = \arctan(x) + C$
5. $\int \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx = \arcsin(x) + C$
6. $\int \cos(x) dx = \sin(x) + C$
7. $\int \sin(x) dx = -\cos(x) + C$
8. $\int \dfrac{1}{\cos^2(x)} dx =\int \sec^2(x) dx = \tan(x) +C$
9. $\int \dfrac{1}{sin^2(x)} dx = \int \csc^2(x) dx = -\cot(x) + C$
10. $\int \sec(x)\tan(x) dx = \sec(x) + C$
11. $\int \csc(x)\cot(x) dx = -\csc(x) + C$
12. $\int e^x dx = e^x + C$
13. $\int a^x dx = \dfrac{a^x}{\ln(a)} + C$
14. $\int \csc^2(x) = -\cot(x) + C$
15. $\int \sec^2(x) = \tan^2(x) + C$
16. $\int \dfrac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \arcsin(\dfrac{x}{a}) + C$
17. $\int \dfrac{1}{x^2 + a^2} dx = \dfrac{1}{a}\arctan(\dfrac{x}{a}) + C$
18. $\int \dfrac{1}{x^2 - a^2} dx = \dfrac{1}{2a}\ln|\dfrac{x - a}{x + a}| + C$
19. $\int \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} dx = \ln(x + \sqrt{x^2 + a^2}) + C$
20. $\int \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} dx = \ln(x + \sqrt{x^2 - a^2}) + C$
21. $\int \tan(x) dx = -\ln|\cos(x)| + C$
22. $\int \cot(x) dx = \ln|sin(x)| + C$
23. $\int \sec(x) = \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C$

# 换元积分法

• 核心思想 (凑), 把 d 前面的某一部分，求原函数拿到 d 的里面去
  • $\int 1 dx = x + C$
  • $\int 1 du = u + C$
  • $\int 1 dF(u) = F(u) + C$
  • $\int 1 d(x^2 - 3) = x^2 - 3 + C$
• $x = \psi(t)$, 先积分出来，然后再换回 $x$
  • 第二类换元思路 (常用是前三项)
  1. ${\sqrt{a^2 - x^2}} \qquad {x = a\sin(t)} \rightarrow {\sqrt{a^2 - a^2\sin^2(t)}} = {\sqrt{a^2\cos^2(t)}}$
  2. ${\sqrt{x^2 - a^2}} \qquad {x = a\sec(t)} \rightarrow {\sqrt{a^2\sec^2(t) - a^2}} = {\sqrt{a^2\tan^2(t)}}$
  3. ${\sqrt{x^2 + a^2}} \qquad {x = a\tan(t)} \rightarrow {\sqrt{a^2\tan^2(t) + a^2}} = {\sqrt{a^2\sec^2(t)}}$
  4. ${\sqrt{a^2 - x^2}} \qquad {x = a\cos(t)} \rightarrow {\sqrt{a^2 - a^2\cos^2(t)}} = {\sqrt{a^2\sin^2(t)}}$
  5. ${\sqrt{x^2 - a^2}} \qquad {x = a\csc(t)} \rightarrow {\sqrt{a^2\dfrac{\cos^2(t)}{\sin^2(t)}}} = {\sqrt{a^2\cot^2(t)}}$
  6. ${\sqrt{x^2 + a^2}} \qquad {x = a\cot(t)} \rightarrow {\sqrt{a^2\cot^2(t) + a^2}} = {\sqrt{a^2\csc^2(t)}}$

# 分部积分法

• $\int x e^x dx = \int x de^x = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C$
• $\int \ln(x) dx = x\ln(x) - x + C$

# 往里拿的优先级

1. $e^x$
2. $\sin(x) , \cos(x)$
3. $x^n$

# 有理函数的积分

• 待定系数法

# 定积分

# 概念与性质

• 设函数$f(x)$ 在区间 [a,b] 上有定义且有界，然后分割，求和，取极限。
• PS: 只与被积函数$f(x)$ 被积区域$[a,b]$ 有关，与积分变量无关
• 定理 1: 连续，可积
• 定理 2: 有界、有限个间断点，可积
• 几何意义:

# 定积分性质

• $\int^a_a f(x) dx= 0$
• 性质一
  • $\int^b_a f(x) dx= -\int^a_b f(x) dx$
• 性质二
  • $\int^b_a (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \alpha \int^b_a f(x) dx + \beta \int^b_a g(x) dx$
• 性质三
  • $\int^b_a f(x) dx = \int^c_a f(x) dx + \int^b_c f(x) dx$
• 性质四
  • $f(x) \equiv 1 \quad \int^b_a 1 dx = b - a \quad \int^b_a k dx = b - a$
• 性质五
  • $f(x) \geq 0 \qquad \int^b_a f(x) dx \geq 0$
  • $f(x) \leq 0 \qquad \int^b_a f(x) dx \leq 0$
• 推理一
  • $f(x) \geq g(x) \qquad \int^b_a f(x) dx \geq \int^b_a g(x) dx$
  • $g(x) - f(x) \geq 0 \qquad \int^b_a [g(x) - f(x)] dx \geq 0$