# 概述

# 官方解释

• 高等数学是指相对于初等数学和中等数学而言，数学的对象及方法较为繁杂的一部分，中学的代数、几何以及简单的集合论初步、逻辑初步称为中等数学，将其作为中小学阶段的初等数学与大学阶段的高等数学的过渡。

# 通俗解释

• 通常认为，高等数学是由微积分学，较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科。主要内容包括：数列、极限、微积分、空间解析几何与线性代数、级数、常微分方程。工科、理科、财经类研究生考试的基础科目。

# 第一节 函数与极限

• 大部分人都知道高等数学的第一章节就是函数与极限了，其实函数在中学时期就已经学过了，所以大部分人把重心放在了极限上面。但是数学是需要有他的完整性，而且之前学过了不代表现在的你还是记得的，至少在细节方面或者在做题方面和当时的自己是没法比的，接下来我们来一一介绍。

# 函数介绍

# 教材定义

• 有两个变量 x 和 y , 当 x 取其变化范围中的每一个特定值时，相应地有唯一的 y 与它对应，则称 y 是 x 的函数。记为 y = f（ x ）, 其中 x 为自变量，y 为因变量。（之所以看不下去教材是有原因的）

# 通俗理解

• 其实函数本质上就是数学描述对应关系的一种特殊集合，用映射与函数的关系去解释再清晰不过了。

  • 有两个非空集合 分别为 X Y, 通过法则 f (function), 对 X 集合里的每个元素 x 都有唯一的 y 与之对应。
  • X 集合实际上就是定义域 记作 D (Domain).
  • Y 集合实际上就是值域，记作 R (Range).

# 函数特性

1. 有界性:
   • 有上界：如果 $\exists k_1$ , 使得 $f(x) \leq k_1$ , 则称$k_1$ 是 $f(x)$ 的一个上界
   • 有下界：如果 $\exists k_2$ , 使得 $f(x) \geq k_2$ , 则称$k_2$ 是 $f(x)$ 的一个下界
   • 有界：如果 $\exists$ 正数 M , 使得 $|f(x)|$ $\leq M$ , 即 $-M \leq f(x) \leq M$
   • 无界 : $\forall$ 正数 M. 如果 $\exists x_1 \in x$, 使得 $|f(x)| \leq M$
2. 单调性:
   • $x_1 \leq x_2$ , 则$f(x_1) \leq f(x_2)$
   • $x_1 \leq x_2$ , 则$f(x_1) \geq f(x_2)$
3. 奇偶性:
   • 前提 $D_f$ (Domain) 定义域必须是关于原点对称的
   • 如果 $f(-x) = f(x)$, 则称为偶函数，该函数在直角坐标系中，所形成的图像是关于 Y 轴对称
   • 如果 $f(-x) = -f(x)$, 则称为奇函数，该函数在直角坐标系中，所形成的图像是关于原点对称
4. 周期性:
   • $\exists$ 正数$l$ , $f(x + l) = f(x)$
     • $y = \sin(x)$ 周期为 2 $\pi$
     • ps:
       • 任何正有理数都是周期，(有理数 + 有理数 = 有理数，无理数 + 有理数 = 无理数)
       • 因为没有最小的正有理数 (0.000...1), 所以不存在最小的周期
       • 并非每个周期函数都有最小周期

# 反函数

• $f: D -> f(D)$ 必须是单射，$f^{-1}:f(D) -> D$
• $f$ 单调、单射，$f^{-1}$ 单调、单射
• $f$ 单调增 $f^{-1}$ 单调增，$f$ 单调减 $f^{-1}$ 单调减
• $f$ 与 $f^{-1}$, 关于 $y = f(x)$ 对称

# 复合函数

• y = f(t) && t = g(x) ==> $y = f(g(x))$ 其中 t 为中间变量
• $g(x)$ 的值域$R_g$ 必须落在$f(t)$ 的定义域$D_f$ 里面

# 函数运算

• $f(x),g(x),\quad D_f,D_g \quad D=D_f \cap D_g \neq \emptyset$
• $(f \pm g)(x) = f(x) \pm g(x)$
• $(f * g)(x) = f(x) * g(x)$
• $(\frac{f}{g})(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \quad g(x) \neq 0$

# 初等函数

• 幂函数
• 指数函数
• 对数函数
• 三角函数
• 由基本初等函数经过有限次的运算、复合，都称为基本初等函数

# 常见三角函数公式

# 基本三角函数公式

• 正割余割
  • $\sec(\alpha) = {\dfrac{1}{\cos(\alpha)}}$
  • $\csc(\alpha) = {\dfrac{1}{\sin(\alpha)}}$
• 商数关系
  • $\tan(\alpha) = {\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}}$
  • $\cot(\alpha) = {\dfrac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}}$
• 倒数关系
  • $\tan(\alpha)\cot(\alpha) = 1$
  • $\sec(\alpha)\cos(\alpha) = 1$
  • $\csc(\alpha)\sin(\alpha) = 1$
• 平方关系
  • $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$
  • $\sec^2(\alpha) = 1 + \tan^2(\alpha)$
  • $\csc^2(\alpha) = 1 + \cot^2(\alpha)$

# 倍角公式

• $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$
• $\cos(2x) = 1 - 2sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1$

# 半角公式

• $\tan(\dfrac{x}{2}) = \csc(x) - \cot(x)$

# 两角和差公式

• $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$
• $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$
• $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$

# 积化和差公式

• $\sin\alpha\cos\beta = \dfrac{1}{2} [\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]$
• $\cos\alpha\sin\beta = \dfrac{1}{2} [\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)]$
• $\cos\alpha\cos\beta = \dfrac{1}{2} [\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)]$
• $\sin\alpha\sin\beta = {-}\dfrac{1}{2} [\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta)]$

# 和差化积公式

• $\sin\alpha + \sin\beta = {2}\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha - \beta}{2})$

• $\sin\alpha - \sin\beta = {2}\sin(\frac{\alpha-\beta}{2})\cos(\frac{\alpha + \beta}{2})$

• $\cos\alpha + \cos\beta = {2}\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha - \beta}{2})$

• $\cos\alpha - \cos\beta = {-2}\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha - \beta}{2})$

• 反三角函数

  • 正弦：$y = \sin(x)$ 的反函数 $y = \arcsin(x)$
  • 余弦：$y = \cos(x)$ 的反函数 $y = \arccos(x)$
  • 正切：$y = \tan(x)$ 的反函数 $y = \arctan(x)$
  • 余切：$y = \cot(x)$ 的反函数 $y = arccot(x)$

# 第二节数列极限

# 数列的形式

• 数列: $\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{8},\dfrac{1}{16}...$
• $x_1,x_2,x_3,x_4,....x_n,...${$x_n$} 数列
• 数列里的每个数称为项，$x_n$: 一般项（通项）

# 数列极限

• {$x_n$} 是数列，$\forall \epsilon > 0 , \exists N$ , 使得 n > N , |$x_n$ - a| < $\epsilon$ , 其中 a 是极限
• 任意小的距离 $\epsilon$ , 都存在某一项 N , 这项后面的所有项，都落在小区间 $\epsilon$ 的里面
• 证明: |$x_n$ - 1| = |$\frac{n + {(-1)}^{n-1}}{n}$ - 1| = |$\frac{n + {(-1)}^{n-1}}{n}$| = $\frac{1}{n}$ < $\epsilon$
• 证明： |$q < 1, 1,q,q^2,q^3,...q^{n-1}$|, 极限是 0

# 收敛数列的性质

• 唯一性
• 有界性
• 保号性
• 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限
• 若有两个子数列收敛于不同的极限，则原数列一定发散

# 第三节函数极限

# 函数极限定义

• $f(x)$ 在$x_0$ 的去心邻域内有定义（在$x_0$ 处可以没有定义）
• $x\rightarrow x_0 , \forall \epsilon > 0$ , $\exists \delta > 0$ , 使得 $0 < |x - x_0| < \delta$ , 有 $|f(x) - A| < \epsilon$
• 左极限

  • $$\lim\limits_{x\rightarrow{x_0^-}}f(x) = A$$

• 右极限

  • $$\lim\limits_{x\rightarrow{x_0^+}}f(x) = A$$

• $x\rightarrow\infty , \forall \epsilon > 0 , \exists X . |x| > X , |f(x) - A| < \epsilon$

# 无穷小与无穷大

• 无穷小
  • 趋于 0
  • 无穷小 + 无穷小 (有限个无穷小的和是无穷小) , 无穷小 - 无穷小，无穷小 $\times$ 无穷小 (有限个无穷小的乘积是无穷小), C $\times$ 无穷小 (C 为常数), (有界与无穷小的乘积是无穷小)
• 无穷大:
  • +$\infty$ , -$\infty$
  • 无穷大 $\times$ 无穷大

# 函数极限性质

• 唯一性
• 局部有界性
• 局部保号性

# 函数定理

• $$\lim\limits f(x) = A { , } \lim\limits g(x) = B$$

1. $$\lim\limits [f(x) \pm g(x)] = \lim\limits f(x) \pm \lim\limits g(x)$$

2. $$\lim\limits [f(x) \times g(x)] = \lim\limits f(x) \times \lim\limits g(x)$$

3. $$\lim\limits [f(x) \div g(x)] = \lim\limits f(x) \div \lim\limits g(x) (B \not= 0)$$

4. $$\lim\limits [cf(x)] = c\lim\limits f(x)$$

5. $$\lim\limits [f(x)]^n = [\lim\limits f(x)]^n$$

6. $$f(x) \geq g(x) , \lim\limits f(x) \geq \lim\limits g(x)$$

# 两个准则，两个重要极限

• 夹逼准则
• 单调有界准则（单调有界数列必有极限）, 收敛必有界，有界不一定收敛

• $$\lim\limits_{x\rightarrow{0}}\frac{x}{sinx} = 1$$

• $$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}(1 + \frac{1}{x})^x = e$$

• $$\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+ {x})^\frac{1}{x} = e$$

• $$\lim\limits_{x\rightarrow 0}(\frac{\sqrt[n]{1 + x}}{\frac{x}{n}}) = 1$$

• 若 $\alpha$ 与 $\beta$ 是等价无穷小 <==> $\beta = \alpha + \omicron (\alpha)$

# 函数的连续性

1. 有极限
2. 有定义
3. 极限 = 函数值
4. 左连续 = 右连续

# 函数间断点

• 函数的间断实际上就是不连续

1. 在 $x_0$ 处无定义
2. 极限不存在
3. 极限 不等于 函数值

• $y = \tan(x)$ 在 $x = \frac{\pi}{2}$ 时，无定义，无穷间断点、$y= \frac{1}{x}$ 在 $x = 0$, 无定义，无穷间断点
• $y = \sin(\frac{1}{x})$ 在 $x = 0$ 时，振荡间断点
• $y = \frac{x^2-1}{x-1}$ 在 $x = 1$ 时，可去间断点

• $$y = \begin{cases} x = x + 1 \quad x > 0 \\ x = 0 \quad\qquad x = 0 \\ x = x -1 \quad x < 0\\ \end{cases} \tag{跳跃间断点}$$

• 第一类间断点：左右极限都存在，(可去间断点，跳跃间断点)
• 第二类间断点：左右极限至少有一个不存在 (振荡间断点，无穷间断点)

# 连续函数的定理

• 零点定理
• 令 $f(x) = 0$ ,(使用频率较高)
• 介值定理

# 做题总结

• 当 $x\rightarrow\infty$ 时，取最高次数项的系数进行计算，(抓大放小)
• 当 $x\rightarrow {0}$ 时，取最高次数项的系数进行计算然后取倒数，(抓大放小)
• 两个无穷小比的极限时，分子或分母用等价无穷小替换
• 分子或分母是若干因子的乘积时，可对其中一个或多个因子做等价无穷小替换

• $$a^b = e^{(blna)}$$

• $$a = e^{(lna)} = lne^a = alne$$

# 导数与微分

# 导数定义

1. 速度：匀速、非匀速 计算 $t_0$ 到 t 的平均速度
2. 切线: $f(x)$ 变化量和 $x$ 变化量的比值
3. 定义: $y = f(x)$ 在 $x_0$ 的领域内有定义，$x_0$ 处取 $\delta x$

# 常见导数公式

• 基本导数求导公式

  • $f(x) = c$ , $(c)' = 0$ , C 为常数
  • $f(x) = x^n$ , $f'(x) = n{x^{n-1}}$
  • $f(x) = a^x$ , $f'(x) = a^xlna$
  • $f(x) = e^x$ , $f'(x) = e^x$
  • $f(x) = \log_{a}{x}$ , $f'(x) = {\frac{1}{xlna}}$
  • $f(x) = \ln{x}$ , $f'(x) = {\frac{1}{x}}$

• 三角函数求导公式

  • $f(x) = sinx$ , $f'(x) = cosx$
  • $f(x) = cosx$ , $f'(x) = -sinx$
  • $f(x) = tanx$ , $f'(x) = sec^2x$
  • $f(x) = cotx$ , $f'(x) = -csc^2x$
  • $f(x) = secx$ , $f'(x) = secxtanx$
  • $f(x) = cscx$ , $f'(x) = -cscxcotx$

• 反三角函数求导公式

  • $f(x) = arcsinx$ , $f'(x) = {\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}}$
  • $f(x) = arccosx$ , $f'(x) = -{\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}}$
  • $f(x) = arctanx$ , $f'(x) = {\frac{1}{1 + x^2}}$
  • $f(x) = arccotx$ , $f'(x) = -{\frac{1}{1 + x^2}}$

# 单侧导数

• 在某点可导，左右导数存在且相等

# 导数的几何含义

• 切线的斜率就是导数的几何含义 (图像是光滑的，且切线斜率不可垂直 X 轴)
• 切线: $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$
• 法线: $y - y_0 = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0)$

# 可导与连续的关系

• 可导一定连续，但是连续不一定可导。(可导的图像是光滑的，连续的图像是不间断的)

# 求导法则

• 函数求导法则

  • $(u + v)' = u' + v'$
  • $(u - v)' = u' - v'$
  • $(uv)' = u'v + uv'$
  • $(uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'$
  • $(cv)' = cv'$ (c 为常数)
  • $(\frac{u}{v})' = {\frac{u'v - uv'}{v^2}}$

• 反函数求导法则

  • 反函数的导数是原来导数的导数: $[f^{-1}(x)]' = {\frac{1}{f'(g)}}$

• 复合函数求导法则 (链式法则)

  • $y = f[g(x)] \qquad \qquad f[g(x)]' = f(u)'g(x)'$

• 隐函数求导法则

  • 两边对 $x$ 求导，如果带着 $y$ 也没关系

# 高阶导数

• $y = ax + b \qquad y' = a \qquad y'' = 0$

• $y = sin\omega x \qquad y' = wcos\omega x \qquad y'' = -\omega^2sinwt$

• $y = e^x \qquad y' = e^x \qquad y'' = e^x$

• $y = \sin(x) \qquad y' = \cos(x) \qquad y'' = \cos(x + \frac{\pi}{2}) = \sin(x + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}) \qquad y^{(n)} = \sin(x + n \frac{\pi}{2})$

• $y = \cos(x) \qquad y' = - \sin(x) \qquad y'' = - \cos(x) = \cos(x + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}) \qquad y^{(n)} = \cos(x + n \frac{\pi}{2})$

• $y = \ln(1 + x) \qquad$ $y' = {\frac{1}{1 + x}} \qquad$ $y'' = {-\frac{1}{(1 + x)^2}}\qquad$ $y^{(n)} = {(-1)^{n-1} \frac{(n - 1)!}{(1 + x)^n}}$

• $y = {x^{\mu}} \quad$ $y' = {\mu x^{\mu - 1}} \quad$ $y'' = {(\mu)(\mu - 1)x^{(\mu - 2)}} \quad$ $y^{(n)} = {(\mu)(\mu - 1)…(\mu - n + 1)x^{(\mu - n)}}$

• $(u + v)^{(n)} = {u^{(n)} + v^{(n)}}$

• $(uv)^{(n)} = {\displaystyle\sum_{k = 0}^n{C_n^k}u^{(n-k)}v^k}$

• $(u + v)^n = {\displaystyle\sum_{k = 0}^n{C_n^k}u^{(n-k)}v^k}$ (这里 n 没有括号，表示次方，而不是导数次方)

# 微分

# 微分的定义

# 定义

• $y = f(x) \qquad x_0 \rightarrow x_0 + \delta x \qquad \delta y = f(x_0 + \delta x) - f(x_0)$
• $\delta y = A\delta x + o(\delta x)$ (A 相对于 $\delta x$ 是常数)

# 充要条件

• 可微 <==> 可导

# 基本微分公式与法则

• $dy = f'(x)dx$
• $f(x_0 + \delta x) = f'(x)dx + f(x_0)$

# 公式 ( ${x \rightarrow 0}$ )

• $(1 + x)^\alpha$ ~ 1 + $\alpha x$
• $\sin(x)$ ~ $x$
• $\tan(x)$ ~ $x$
• $e^x$ ~ 1 + $x$
• $\ln(1 + x)$ ~ $x$

# 微分中值定理

# 费马引理

• 定义
  • $f(x)$ 在 $x_0$ 邻域 $U(x_0)$ 有定义，在 $x_0$ 处可导，如 $f(x) \leq f(x_0) \quad \forall x \in U(x_0)$ , 则 $f'(x_0) = 0$
  • 驻点：导数为 0 的点 (又称 稳定点，零界点)

# 罗尔定理

• $f(x)$ 满足
  • 在 $[a,b]$ 连续
  • 在 $(a,b)$ 可导
  • $f(a) = f(b)$
    则至少 $\exist$ $\xi \in (a,b)$ $f'(\xi) = 0$

# 拉格朗日中值定理

• $f(x)$ 满足
  • 在 $[a,b]$ 连续
  • 在 $(a,b)$ 可导
    $(a , b)$ 至少有一点 $\xi$ $f(b) - f(a) = f'(\xi)(b -a)$
• $f(x)$ 在区间 I 连续 I 内可导且导数恒为 0 , $f(x) = C$

# 柯西中值定理

• 若 $f(x)$ 和 $F(x)$
  • 在 $[a,b]$ 连续
  • 在 $(a,b)$ 可导
  • $\forall x \in (a , b) F'(x) \neq 0$
    至少有一点 $\displaystyle\frac{f(b)- f(a)}{F(b)- F(a)}$ = ${\displaystyle\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}}$

# 洛必达法则

• 形式

  • ${\displaystyle\frac{0}{0}} \qquad {\displaystyle\frac{\infty}{\infty}} \qquad 0 {\cdot} \infty \qquad \infty - \infty \qquad 0^0 \qquad 1^\infty \qquad \infty^0$

• 定理 1

  • $x \to a$ 时 $\qquad f(x) \to 0 \qquad F(x) \to 0$
  • 在 $a$ 的去心邻域内 $f'(x) F'(x)$ 存在，且 $F'(x) \neq 0$
  • $\lim\limits_{x \to a}\frac{f(x)}{F(x)}$ 存在 或 $\infty$
    则 ${\lim\limits_{x \to a}\frac{f(x)}{F(x)}} = {\lim\limits_{x \to a}\frac{f'(x)}{F'(x)}}$

• 定理 2

  • $x \to \infty$ 时 $\qquad f(x) \to 0 \qquad F(x) \to 0$
  • 在 $a$ 的去心邻域内 $f'(x) F'(x)$ 存在，且 $F'(x) \neq 0$
  • $\lim\limits_{x \to a}\frac{f(x)}{F(x)}$ 存在 或 $\infty$
    则 ${\lim\limits_{x \to \infty}\frac{f(x)}{F(x)}} = {\lim\limits_{x \to a}\frac{f'(x)}{F'(x)}}$

# 泰勒公式

• 通用
  • 一次性表达
    • $f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
  • 多次求导
    • $f(x) = f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1!}(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2+ ... + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n$ + o$((x - x_0)^n)$

1. sinx = $x -\displaystyle\frac{x^3}{3!}$ + o(x³)

2. cosx = 1 - $\displaystyle\frac{x^2}{2!}$ + $\displaystyle\frac{x^4}{4!}$ + o(x⁴)

3. tanx = x + $\displaystyle\frac{x^3}{3}$ + o(x³)

4. arcsinx = x + $\displaystyle\frac{x^3}{3!}$ + o(x^3)

5. arcsinx = x + $\displaystyle\frac{1}{2} {*} \displaystyle\frac{x^3}{3} {+} \displaystyle\frac{1}{2} {*} \displaystyle\frac{3}{4} {*} \displaystyle\frac{x^5}{5} + o(x^5)$

6. arctanx = $x - \displaystyle\frac{x^3}{3} + o(x^3)$

7. $\ln(1 + x) = x - \displaystyle\frac{x^2}{2} + \displaystyle\frac{x^3}{3} + o(x^3)$

8. $e^x = 1 + x + \displaystyle\frac{x^2}{2!} + x^ o(x^2)$

9. $(1 + x)^α = 1 + αx + \displaystyle\frac{α(α -1)x^2}{2!} + o(x^2)$